Introduction aux variétés différentielles, site compagnon
Bienvenue sur le site compagnon du livre Introduction aux variétés différentielles de Jacques Lafontaine.
Vous trouverez, en naviguant dans le sommaire du livre :
Ce chapitre reprend les bases du calcul différentiel et prépare le cadre des variétés.
Les notions de variétés et d'application lisse entre variétés sont une mise en forme dans un cadre général. Ce chapitre met en place ce cadre général, décrit un exemple important de variété (espaces projectifs réels et complexes) et étend aux variétés les notions et résultats vus dans le chapitre 1 (immersions, espace tangent, ...).
Le théorème de Gauss-Bonnet est au coeur de la géométrie des variétés. Il met en jeu de la topologie, de la géométrie différentielle et de la géométrie riemannienne.
Vous trouverez, en naviguant dans le sommaire du livre :
- des prérequis pour combler vos lacunes,
- des corrigés d'exercices du livre et des exercices supplémentaires,
- des compléments pour en savoir plus.
Sommaire de la page
prérequis
Chapitre 1 - Calcul différentiel
Chapitre 2 - Notions de base sur les variétés
Chapitre 3 - Du local au global
Chapitre 4 - Autour des groupes de Lie
Chapitre 5 - Formes différentielles
Chapitre 6 - Intégration et applications
Chapitre 7 - Cohomologie et théorie du degré
Chapitre 8 - Caractéristiques d’Euler-Poincaré et théorème de Gauss-Bonnet
prérequis
Chapitre 1 - Calcul différentiel
Chapitre 2 - Notions de base sur les variétés
Chapitre 3 - Du local au global
Chapitre 4 - Autour des groupes de Lie
Chapitre 5 - Formes différentielles
Chapitre 6 - Intégration et applications
Chapitre 7 - Cohomologie et théorie du degré
Chapitre 8 - Caractéristiques d’Euler-Poincaré et théorème de Gauss-Bonnet
Prérequis
Vous trouverez ci-dessous des prérequis au livre :
Chapitre 1 - Calcul différentiel
Ce chapitre reprend les bases du calcul différentiel et prépare le cadre des variétés.
Chapitre 2 - Notions de base sur les variétés
Les notions de variétés et d'application lisse entre variétés sont une mise en forme dans un cadre général. Ce chapitre met en place ce cadre général, décrit un exemple important de variété (espaces projectifs réels et complexes) et étend aux variétés les notions et résultats vus dans le chapitre 1 (immersions, espace tangent, ...).
Chapitre 3 - Du local au global
Le chapitre propose une série de variations sur les thèmes suivants :
- sur une variété lisse, il y a « beaucoup » de fonctions lisses,
- il y a aussi « beaucoup » de difféomorphismes.
- Constructions de difféomorphismes (Théorème de Hadamard-Lévy et d'Ereshman, Difféomorphisme de l'espace euclidien, Généralisation aux variétés) : complément à télécharger
- Quelques fibrés remarquables (Le fibré des repères, fibrés principaux, second fibré tangent) : complément à télécharger
- Corrigés du livre à télécharger
- Exercices supplémentaires à télécharger : du local au global
Chapitre 4 - Autour des groupes de Lie
Le chapitre expose les rudiments de la théorie des groupes de Lie, avec de nombreux exemples.
- Isomorphismes de groupes de Lie en petites dimensions (Introduction, deux fois deux égale quatre : les conséquences en théorie des groupes, les conséquence de deux fois trois égale six) : complément à télécharger
- Exercices supplémentaires à télécharger : Autour des groupes de Lie
- Corrigés du livre à télécharger
Chapitre 5 - Formes différentielles
Après des préliminaires algébriques (formes multilinéaires alternées), ce chapitre traite des formes différentielles sur les ouverts de Rn.
Mais le principal intérêt des formes différentielles est l'existence d'un opérateur linéaire du naturel qui associe à toute forme de degré p une forme de degré p+1.
Chapitre 6 - Intégration et applications
Ce chapitre discute des problèmes d'orientation avant de passer à l'intégration proprement dite.
Chapitre 7 - Cohomologie et théorie du degré
Les espaces de cohomologie de Rham font l'objet de ce chapitre.
Chapitre 8 - Caractéristiques d’Euler-Poincaré et théorème de Gauss-Bonnet
Le théorème de Gauss-Bonnet est au coeur de la géométrie des variétés. Il met en jeu de la topologie, de la géométrie différentielle et de la géométrie riemannienne.
- Le théorème de Poincaré-Hopf (Champs de vecteurs « sortants » sur un domaine à bord d'un espace euclidien, Zéros non dégénérés, Cas d'un champ de vecteurs dont les zéros sont non dégénérés, Cas des zéros dégénérés, Interprétation de la somme des indices) : complément à télécharger
Publié le 7 mars 2024
Mis à jour le 20 avril 2024
Mis à jour le 20 avril 2024