L'éditeur de l'Université Grenoble Alpes

Bienvenue sur le site compagnon du livre Introduction aux variétés différentielles de Jacques Lafontaine.

Vous trouverez, en naviguant dans le sommaire du livre  :

• des prérequis pour combler vos lacunes,
• des corrigés d'exercices du livre et des exercices supplémentaires,
• des compléments pour en savoir plus.

   

Prérequis

Vous trouverez ci-dessous des prérequis au livre :

• Connexité, applications propres, à télécharger

Chapitre 1 - Calcul différentiel

Ce chapitre reprend les bases du calcul différentiel et prépare le cadre des variétés.

• Exercices supplémentaires à télécharger : calcul différentiel
• Corrigés du livre à télécharger

Chapitre 2 - Notions de base sur les variétés

Les notions de variétés et d'application lisse entre variétés sont une mise en forme dans un cadre général. Ce chapitre met en place ce cadre général, décrit un exemple important de variété (espaces projectifs réels et complexes) et étend aux variétés les notions et résultats vus dans le chapitre 1 (immersions, espace tangent, ...). 

• Exercices supplémentaires à télécharger : Variétés
• Corrigés du livre à télécharger

Chapitre 3 - Du local au global

Le chapitre propose une série de variations sur les thèmes suivants :
- sur une variété lisse, il y a « beaucoup » de fonctions lisses,
- il y a aussi « beaucoup » de difféomorphismes.

•  Constructions de difféomorphismes (Théorème de Hadamard-Lévy et d'Ereshman, Difféomorphisme de l'espace euclidien, Généralisation aux variétés) : complément à télécharger
• Quelques fibrés remarquables (Le fibré des repères, fibrés principaux, second fibré tangent) : complément à télécharger
• Corrigés du livre à télécharger
• Exercices supplémentaires à télécharger : du local au global

Chapitre 4 - Autour des groupes de Lie

Le chapitre expose les rudiments de la théorie des groupes de Lie, avec de nombreux exemples.

• Isomorphismes de groupes de Lie en petites dimensions (Introduction, deux fois deux égale quatre : les conséquences en théorie des groupes, les conséquence de deux fois trois égale six) : complément à télécharger
• Exercices supplémentaires à télécharger : Autour des groupes de Lie
• Corrigés du livre à télécharger

Chapitre 5 - Formes différentielles

Après des préliminaires algébriques (formes multilinéaires alternées), ce chapitre traite des formes différentielles sur les ouverts de Rn.
Mais le principal intérêt des formes différentielles est l'existence d'un opérateur linéaire du naturel qui associe à toute forme de degré p une forme de degré p+1.

•  Exercices supplémentaires à télécharger : Formes différentielles

Chapitre 6 - Intégration et applications

Ce chapitre discute des problèmes d'orientation avant de passer à l'intégration proprement dite.

•  Corrigés du livre à télécharger

Chapitre 7 - Cohomologie et théorie du degré

Les espaces de cohomologie de Rham font l'objet de ce chapitre.

• Exercices supplémentaires à télécharger : Cohomologie
• Corrigés du livre à télécharger

Chapitre 8 - Caractéristiques d’Euler-Poincaré et théorème de Gauss-Bonnet

Le théorème de Gauss-Bonnet est au coeur de la géométrie des variétés. Il met en jeu de la topologie, de la géométrie différentielle et de la géométrie riemannienne.

•  Le théorème de Poincaré-Hopf (Champs de vecteurs « sortants » sur un domaine à bord d'un espace euclidien, Zéros non dégénérés, Cas d'un champ de vecteurs dont les zéros sont non dégénérés, Cas des zéros dégénérés, Interprétation de la somme des indices) : complément à télécharger