Les notions de variétés et d'application lisse entre variétés sont une mise en forme dans un cadre général. Ce chapitre met en place ce cadre général, décrit un exemple important de variété (espaces projectifs réels et complexes) et étend aux variétés les notions et résultats vus dans le chapitre 1 (immersions, espace tangent, ...).
Le chapitre propose une série de variations sur les thèmes suivants :
- sur une variété lisse, il y a « beaucoup » de fonctions lisses,
- il y a aussi « beaucoup » de difféomorphismes.
Constructions de difféomorphismes (Théorème de Hadamard-Lévy et d'Ereshman, Difféomorphisme de l'espace euclidien, Généralisation aux variétés) : complément à télécharger
Quelques fibrés remarquables (Le fibré des repères, fibrés principaux, second fibré tangent) : complément à télécharger
Le chapitre expose les rudiments de la théorie des groupes de Lie, avec de nombreux exemples.
Isomorphismes de groupes de Lie en petites dimensions (Introduction, deux fois deux égale quatre : les conséquences en théorie des groupes, les conséquence de deux fois trois égale six) : complément à télécharger
Après des préliminaires algébriques (formes multilinéaires alternées), ce chapitre traite des formes différentielles sur les ouverts de Rn.
Mais le principal intérêt des formes différentielles est l'existence d'un opérateur linéaire du naturel qui associe à toute forme de degré p une forme de degré p+1.
Chapitre 8 - Caractéristiques d’Euler-Poincaré et théorème de Gauss-Bonnet
Le théorème de Gauss-Bonnet est au coeur de la géométrie des variétés. Il met en jeu de la topologie, de la géométrie différentielle et de la géométrie riemannienne.
Le théorème de Poincaré-Hopf (Champs de vecteurs « sortants » sur un domaine à bord d'un espace euclidien, Zéros non dégénérés, Cas d'un champ de vecteurs dont les zéros sont non dégénérés, Cas des zéros dégénérés, Interprétation de la somme des indices) : complément à télécharger
Partager le lienCopierCopiéFermer la fenêtre modalePartager l'URL de cette pageJe recommande cette page :Consultable à cette adresse :La page sera alors accessible depuis votre menu "Mes favoris".Arrêter la vidéoJouer la vidéoCouper le sonJouer le sonChat : Une question ?Chatbot Robo FabricaStatistiques de fréquentation MatomoX (anciennement Twitter)
