L'éditeur de l'Université Grenoble Alpes

Solutions d'exercices

• Exercice 12-1 : Application de la méthode du tir au problème modèle y’’ = y + 1

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• Exercice 12-3 : Méthode des différences finies pour des pas différents

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Projets

Inversion de l'ammoniac
Dans la molécule d’ammoniac NH3, l'atome d'azote occupe le sommet d’une pyramide dont les trois atomes d'hydrogène forment la base triangulaire équilatérale. Quelle est la probabilité pour que cette configuration se retourne comme un parapluie, c'est-à-dire que l’atome d’azote traverse le plan des hydrogènes et aboutisse à une nouvelle position d’équilibre symétrique de la première ? Découvrez la réponse en résolvant numériquement l’équation de Schrödinger pour ce système

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Le modèle atomique de Thomas et Fermi
L’objectif de ce projet est d’obtenir une fonction numérique universelle qui permet le calcul des propriétés du nuage électronique de tous les atomes. Pour ce faire, on détermine le potentiel électrostatique et la densité électronique de l'état fondamental d'un atome en appliquant une méthode statistique et une approximation semi-classique. ​​​​​​

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L’ion hydrogène moléculaire
L'ion H2+ est la plus simple espèce moléculaire connue (deux protons et un électron). Les études de sa fonction d'onde, de son énergie et de sa stabilité ont fait l'objet de très nombreuses publications, de 1928 à nos jours. Ce projet vous amènera à résoudre l'équation de Schrödinger qui gouverne le comportement quantique de ce système par la méthode de séparation des variables en coordonnées confocales.

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Pour en savoir plus, télécharger : The hydrogen molecular ion revisited, J. Chem. Ed. 79, 127-132 (2002)

Compléments

Traduction en Python d'exemples donnés en Scilab dans le livre :

• Listing 12.1 : Résolution d’un problème aux limites par les différences finies
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• Listing 12.2 : Résolution de l’équation de Schrödinger par les différences finies
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Oscillateur harmonique quantique – Énergie et fonction d'onde :

Recherche de l'énergie (sans dimension) et de la fonction d'onde du premier niveau excité de l'oscillateur harmonique quantique par la méthode du tir et le schéma de Numerov (voir chapitres 11 et 12 de l'ouvrage). On n'a représenté que la moitié du graphe de la fonction d'onde, pour x ≥ 0. La fonction complète est antisymétrique et peut être obtenue en ajoutant à cette courbe sa symétrique par rapport à l'origine.

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Liens

Voir le livre du professeur Boyd : Chebyshev and Fourier Spectral Methods (2e édition, version en ligne)  https://depts.washington.edu/ph506/Boyd.p