Chapitre 13 - Équations aux dérivées partielles

Méthodes numériques appliquées
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Solutions d'exercices

par Magali Ribot, maître de conférences en Mathématiques Appliquées

  • Exercice 13-2 : Eléments finis pour différentes équations

    Solution à télcharger. Dans ce fichier, on reprend l'étude des éléments finis P1 pour deux équations et on détaille le calcul des matrices de masse et de rigidité, ainsi que la matrice obtenue à partir d'un terme de convection.
    Réponse à la question f) : programme en Scilab et programme en Python.
    Réponse à la question h) : programme en Scilab et programme en Python.

  • Exercice 13-3 : Eléments finis et conditions aux bords pour l'équation de Poisson

    Solution à télécharger. Dans cet exercice, on reprend l'étude faite pour l'équation de Poisson avec conditions aux bords de Dirichlet pour l'étendre à différentes conditions aux bords.

  • Exercice 13-4 : Conditions de stabilité de différents schémas

    Solution à télécharger. Vous trouverez dans ce fichier les solutions de l'exercice 13-4 sans le détail des calculs. Pour chaque schéma, la formule du coefficient d'amortissement est donnée, ainsi que la condition de stabilité du schéma (s'il y en a). Les calculs intermédiaires sont laissés au lecteur.

  • Exercice 13-7 : Résolution de l'équation des ondes

    Solution à télécharger.
    L'objet de cet exercice est la programmation de l'équation des ondes à l'aide des différences finies. Le cas des conditions aux bords de Dirichlet (question a) est traité à l'aide d’un programme en Scilab ou d’un programme en Python. Une animation vous permet de visualiser le résultat.
    Pour des conditions aux bords périodiques (question b), le problème peut être traité à l'aide d’un programme en Scilab ou d’un programme en Python.

Projets

Propagation d’un paquet d’ondes quantique
Comment se comporte un paquet d’ondes lorsqu’il se heurte à une barrière de potentiel ? Retrouvez les résultats de l’animation ci-dessous en réalisant la simulation décrite.
Propagation de l’influx nerveux dans un neurone
Comment se propage l'influx nerveux dans un neurone ? La membrane de l'axone, sensible aux potentiels chimiques, présente une différence de potentiel qui permet la propagation d'un signal électrique. Dans ce projet, vous programmerez le modèle de FitzHugh-Nagumo, une version simplifiée du modèle de Hodgkin-Huxley, modèle historique de propagation de l'influx nerveux. Vous mettrez en évidence un « effet de seuil », c'est-à-dire qu'il faut une valeur suffisamment grande de l'impulsion électrique à un bout de l'axone pour voir apparaître la propagation d'un signal électrique le long de l'axone.

Formation de motifs en biologie
Comment se forment les taches d’un léopard ou les rayures d’un zèbre ? Lors de la formation de motifs sur le pelage d'un animal, plusieurs substances chimiques entrent en jeu. Dans ce projet, vous reproduirez ces motifs par la résolution d'un système d'équations de type réaction-diffusion modélisant le comportement d'un système de substances chimiques de type activateur-inhibiteur.

Compléments

Traduction en Python d'exemples donnés en Scilab dans le livre :

Liens

Freefem++
Ce logiciel gratuit permet une initiation très commode à la pratique de la méthode des éléments finis.
http://www.freefem.org
Mis à jour le  20 avril 2024